三次函数

最高次数项为3的函数

三次函数(cubic function)指的是最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

中文名

三次函数

外文名

cubic function

别称

三次回归式抛物线

表达式

y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）

提出者

范盛金

应用学科

数学

适用领域范围

中等代数

图象性质

三次函数性态的五个要点

⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数

⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数

⒊单调性问题

⒋三次函数f（x）图象的切线条数

⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围

三次函数的对称中心

1.三次函数有对称中心的证明

证明：

因为f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0的对称中心是，即

所以f(x)=ax3+bx2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是。

所以设f(x)=a(x+m)3+p(x+m)+n

得f(x)=ax3+3amx2+(3am2+p)x+am3+pm+n

所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;

所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)

所以f(x)=a(x+b/3a)3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a

得证。

2.推广

如果f(x）是一个n次多项式，n>=2（因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心 而在广义上讲是无数个对称中心），其次项系数是，次项系数是，则有

⑴：如果y=f(x）的图像是中心对称图形，其对称中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));

⑵：如果y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是x=-a1/n/a0.

极值计算

三次函数，其导数为。易证当有两个不相等的实数根时，f(x)具有极大值和极小值。而当有两个相等的实数根或没有实数根时，f(x)不具有极值。

若f(x)有极值，设在和处取得，则满足关系式，因此以下用来介绍两种求三次函数极值的方法。

代入原方程法

该方法为高中学生必须掌握的方法，即通过解方程，将所得解x1与x2代入f(x)中得到极值。

解得。

因此极大值：

极小值：

该方法简洁明了，但存在一个问题，即如果解出来的x1与x2十分复杂（如含有根式，或数字较大等），代入f(x)中计算乘方将是一件不容易的事。下一种方法则可以较好地解决上述问题。

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