(1)引理的证明：我们来构造这个子列设有实数列，定义集合集合中的每个元素，都比其后的所有元素都大。

如果X中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是的子列，并且单调递减，构造完毕。

如果X中元素个数有限，那么如果设N为其中最大的下标，对任意的an，它之后至少会有一个元素大于它。

于是取k0 = N + 1， 为第一个大于的元素的下标，为第一个大于的元素的下标，依此类推，就可以得到的一个子列，它是单调递增的，构造完毕。

综上可得，有界的实数列必然包含单调的子列。

(2)定理的证明：先考虑n = 1的情况。

对于一个有界闭集中的实数列，取它的一个单调子列。

不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，这个子列必然收敛。

又因为集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，于是我们找到了收敛的子列，因此集合是序列紧致的。

对于，证明的思路是取多次子列。

设为一个有界序列，则n个实数列都是有界数列。

于是存在的子列使得收敛。

但是仍是有界数列，因而存在子列使得也收敛（注意这里必然是收敛的）。

在进行类似的n次操作后，我们就可以得到一个子列，使得都收敛，也就是说存在子列收敛。

由于集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，因此集合是序列紧致的，证毕。